Contributions to the Spectral Theory of Quantum Graphs : Eigenvalue Estimates, Nodal Properties and Spectral Minimal Partitions
In this thesis, we present some new developments in the spectral theory of quantum graphs. The topics we are primarily interested in are nodal properties of Schrödinger operators on metric graphs, eigenvalue bounds for Laplacians on metric graphs and spectral minimal partitions of metric graphs. In the first part of this thesis, we establish metric graph counterparts of Pleijel’s theorem on the asymptotics of the number of nodal domains of the n-th eigenfunction(s) of a broad class of operators on compact metric graphs, including Schrödinger operators with a variety of vertex conditions as well as the p-Laplacian with standard vertex conditions. In the second part, we provide new eigenvalue estimates for Laplacians on metric graphs with standard vertex conditions. We are particularly interested in the role played by planarity or – more generally – embeddability into more general surfaces and derive upper eigenvalue bounds in dependence of the genus of said surface. An important tool in the proof of one of these bounds is a recently developed transfer principle by Amini and Cohen–Steiner. We demonstrate how this transfer principle can be used to also derive good lower eigenvalue bounds for graphs that possess certain types of so-called double covers. Finally, we derive eigenvalue bounds in terms of the graph’s inradius if on additionally imposes Dirichlet vertex conditions at some vertices. In the third and final part, we study properties of spectral minimal partitions of metric graphs within the framework recently introduced by Kennedy, Kurasov, Mugnolo and Léna. We provide sharp lower and upper estimates for minimal partition energies in different classes of partitions; while the lower bounds are reminiscent of the classic isoperimetric inequalities for metric graphs, the upper bounds are more involved and mirror the combinatorial structure of the metric graph as well. Combining them, we deduce that these spectral minimal energies also satisfy a Weyl-type asymptotic law similar to the well-known one for eigenvalues of quantum graph Laplacians with various vertex conditions.
In der vorliegenden Arbeit stellen wir einige neue Ergebnisse der Spektraltheorie von Quantengraphen vor. Die Teilgebiete, für die wir uns hauptsächlich interessieren, sind Nodaleigenschaften von Schrödinger-Operatoren auf metrischen Graphen, Eigenwertabschätzungen für Laplace-Operatoren auf metrischen Graphen sowie Spektralminimalpartitionen von metrischen Graphen. Im ersten Teil stellen wir eine Quantengraphenversion des Satzes von Pleijel über das asymptotische Verhalten der Nodalzahl der n-ten Eigenfunktion vor. Die Klasse von Operatoren, mit der wir uns hierbei beschäftigen, sind einerseits Schrödinger-Operatoren mit sehr allgemeinen Knotenbedingungen und anderseits p-Laplace-Operatoren mit Standardknotenbedingungen. Im zweiten Teil leiten wir eine Reihe neuer Eigenwertabschätzungen für Laplace- Operatoren mit Standardknotenbedingungen her. Hierbei sind wir besonders an planaren Graphen oder Graphen, die sich in allgemeinere Flächen einbetten lassen, interessiert. Genauer gesagt, leiten wir obere Eigenwertabschätzungen in Abhängigkeit des topologischen Geschlechts des Graphen her. Ein wichtiges Hilfsmittel in einem der Beweise ist ein Transferprinzip von Amini und Cohen–Steiner. Wir zeigen, dass dieses Transferprinzip auch effektive Anwendungen für die Herleitung unter Eigenwertabschätzungen vorweist. Schließlich leiten wir Eigenwertabschätzungen in Abhängigkeit des Innenradiuses metrischer Graphen her, wobei wir hier zusätzlich annehmen, dass eine endliche Anzahl von Knoten mit Dirichlet-Bedingungen ausgestattet ist. Im dritten und letzten Teil der Arbeit beschäftigen wir uns mit der kürzlich von Kennedy, Kurasov, Mugnolo und Léna vorgestellen Theorie von Spektralminimalpartitionen metrischer Graphen. Wir erhalten untere und obere Abschätzungen für die zugehörigen Minimalpartitionsenergien her. Während die unteren Abschätzungen eher an bereits bekannte isoperimetrischen Abschätzungen für Eigenwerte erinnern, sind die oberen Abschätzungen komplizierter und spiegeln die kombinatorische Struktur des Graphen wider. Mit Hilfe der Abschätzungen sind wir in der Lage ein Weyl’sches Gesetz für die Minimalpartitionsenergien zu folgern.
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