Untersuchungen über reelle und rationale Automorphismengruppen reeller und rationaler binärer quadratischer Formen

Welke, Stefan

Ist die einen Kegelschnitt definierende quadratische Form M mit det(M)≠0 rational, dann besitzt die Menge der rationalen Kegelschnittpunkte zu jedem Punkt P0 eine geometrisch definierte abelsche Gruppenstruktur. Diese Gruppen sind zur rationalen Automorphismengruppe der Form M isomorph. Es gilt: (1) Die Menge der Konjugationsklassen rationaler quadratischer Formen M bezüglich SL(2,Q) trägt eine abelsche Gruppenstruktur, ist unendlich erzeugt und enthält die endliche Gruppe der Genera von C. F. Gauß. (2) Die Automorphismengruppe von M enthält ein Erzeugendensystem E, so dass jedes Element dieser Gruppe endliches Produkt von Elementen aus E ist. Ist der Ganzheitsring von Q[√(-D)] faktoriell, dann ist diese Darstellung eindeutig.

Let M be a rational binary quadratic form with det(M) = D ≠ 0 and let K be the conic defined by < Mx,x>=1. Then for every rational point P0 in K the set of rational points of K carries a geometrically defined abelian group structure. These groups are isomorphic to the group of rational automorphisms of the form M. The two main results are: (1) The set of conjugacy classes of rational forms M under SL(2,Q) carries an abelian group struture, is infinitely generated, and contains the finite group of genera defined by C. F. Gauß. (2) The rational automorphism group of M contains a system E of generators, so that any rational automorphism is representable as a finite product of elements from E. If the ring of integers in the quadratic field Q[√(-D)] is factorial, then this representation is unique.

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Welke, Stefan: Untersuchungen über reelle und rationale Automorphismengruppen reeller und rationaler binärer quadratischer Formen. Hagen 2019. FernUniversität in Hagen.

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