Bose-Einstein Condensation in Random Potentials

Pechmann, Maximilian

Bose–Einstein condensation can be understood as a macroscopic occupation of a single-particle state. But an alternative definition, which requires only a macroscopic occupation of an arbitrarily small energy band of single-particle states, is also known, referred to as generalized Bose–Einstein condensation, and considered to be thermodynamically more stable. Depending on the number of macroscopically occupied single-particle states in the condensate, three types are then distin-guished. If the number of macroscopically occupied single-particle states is finite but at least one, then the condensation is said to be of type-I. A type-II condensate occurs if infinitely many single-particle states are macroscopically occupied. If a generalized Bose–Einstein condensation without any macroscopically occupied single-particle states is present, then one speaks of a type-III con-densation. In noninteracting Bose gases, it is generally easier to prove the occurrence of generalized Bose–Einstein condensation than to determine its type. While a main step for the former task is to show that the critical density is finite, quite detailed knowledge of the energy gaps of the cor-responding single-particle Hamiltonian at the lower edge of the spectrum is needed for the latter one. In this dissertation, we study the occurrence of a Bose–Einstein condensate in Bose gases that are placed in metrically transitive random potentials. We mainly consider the Poisson random potential. The thermodynamic limit and Dirichlet boundary conditions are used throughout this work. We explore noninteracting Bose gases in arbitrary dimension at positive temperatures and a one-dimensional interacting Bose gas at zero temperature. We provide fairly general sufficient conditions for the random potential that imply the almost sure occurrence of generalized Bose–Einstein condensation in noninteracting Bose gases. These conditions are fulfilled by a Poisson random potential, depending on its single-impurity potential. They are also met by the one-dimensional Luttinger–Sy model, which is a central system in the research area of Bose gases in random potentials, and a generalization thereof. Moreover, we state sufficient energy gap conditions such that one can conclude a type-I condensation in Poisson random potentials. We consider different probabilistic notions here, such as convergence in the rth mean, r P N, in probability, and with probability almost one. In particular, we prove that in the Luttinger–Sy model with infinitely strong random potential a type-I condensation occurs in the rth mean, r P N, if the particle density is greater than the critical one. For the Luttinger–Sy model with a finitely strong random potential, we show the same statement, but with probability almost one. Finally, we discuss the Luttinger–Sy model with a repulsive contact interaction between the particles at zero temperature. We provide sufficient requirements such that a generalized Bose–Einstein condensate almost surely occurs. We also show that the type of the condensate is altered by the interparticle interaction. In particular, we demonstrate a transition from a type-I to a type-III condensate when the strength of the contact interaction is increased. Furthermore, we prove that the interparticle interaction reduces the local particle density.

Eine Bose–Einstein-Kondensation kann als eine makroskopische Besetzung eines Einteilchen-Zustandes verstanden werden. Jedoch ist eine alternative Definition, die als verallgemeinerte Bose–Einstein-Kondensation bezeichnet wird, ebenfalls bekannt, setzt lediglich eine makroskopische Besetzung eines beliebig kleinen Energiebandes von Einteilchen-Zuständen voraus und gilt als thermodynamisch stabiler. Abhängig von der Anzahl der makroskopisch besetzten Einteilchen- Zustände im verallgemeinerten Bose–Einstein-Kondensat werden drei Typen unterschieden. Falls die Anzahl der makroskopisch besetzten Einteilchen-Zustände endlich und mindestens eins ist, so handelt es sich um eine Typ-I-Kondensation. Eine Type-II-Kondensation entsteht, wenn unendlich viele Einteilchen-Zustände makroskopisch besetzt sind. Falls ein verallgemeinertes Bose–Einstein-Kondensat ohne makroskopisch besetzte Einteilchen-Zustände entsteht, dann spricht man von einer Typ-III-Kondensation. Allgemein ist der Beweis einer verallgemeinerten Bose–Einstein-Kondensation in nichtwechselwirkenden Bosegasen einfacher als die Bestimmung dessen Typs. Während ein Hauptschritt für die erste Aufgabe das Zeigen einer endlichen kritischen Dichte ist, sind für die letztere recht genaue Kenntnisse über die Abstände zwischen den Energieniveaus des entsprechenden Einteilchen-Hamiltonoperators am unteren Rand des Spektrums nötig. Diese Dissertation beschäftigt sich mit dem Auftreten einer Bose–Einstein-Kondensation in Bosegasen bei Vorhandensein eines metrisch transitiven Zufallspotentials. Besonders berücksichtigen wir hierbei das Poisson-Zufallspotential. Wir verwenden ausschließlich den thermodynamischen Limes und Dirichlet-Randbedingungen. Wir untersuchen nichtwechselwirkende Bosegase in beliebiger Dimension bei positiven Temperaturen und ein eindimensionales wechselwirkendes Bosegas bei Temperatur T = 0. Wir stellen recht allgemeine, hinreichende Bedingungen für das Zufallspotential bereit, die das fast sichere Auftreten einer verallgemeinerten Bose–Einstein-Kondensation in nichtwechselwirkenden Bosegasen implizieren. Diese Bedingungen werden von einem Poisson-Zufallspotential, abhängig von der Gestalt seines Einzelplatz-Potentials, erfüllt. Sie werden auch erfüllt von dem eindimensionalen Luttinger–Sy-Modell, das ein zentrales System im Forschungsbereich von Bosegasen in Zufallspotentialen ist, und von einer Verallgemeinerung von diesem. Zudem geben wir hinreichende Abstände zwischen den Energieniveaus an, um auf eine Typ-I-Kondensation in Poisson-Zufallspotentialen schließen zu können. Dabei berücksichtigen wir mehrere Formen des Auftretens, die sich im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne unterscheiden. Wir geben Bedingungen für eine Typ-I-Kondensation im r-ten Mittel, r \in \mathds N$, in Wahrscheinlichkeit und mit Wahrscheinlichkeit fast eins an. Insbesondere zeigen wir, dass im Luttinger–Sy-Modell mit unendlich starkem Zufallspotential eine Typ-I-Kondensation im r-ten Mittel, $r \in \mathds N, entsteht, falls die Teilchendichte größer als die kritische Dichte ist. Für das Luttinger–Sy-Modell mit endlich starkem Zufallspotential zeigen wir, dass dieses mit einer Wahrscheinlichkeit fast eins geschieht. Schließlich behandeln wir das Luttinger–Sy-Modell mit einer abstoßenden Kontaktwechselwirkung zwischen den Teilchen bei Temperatur T = 0. Wir geben hinreichende Bedingungen an, so dass eine verallgemeinerte Bose–Einstein-Kondensation fast sicher auftritt. Wir zeigen auch, dass der Typ des Kondensats durch die Teilchenwechselwirkung verändert wird. Insbesondere demonstrieren wir einen Übergang von einer Typ-I- zu einer Typ-III-Kondensation bei zunehmender Stärke der Kontaktwechselwirkung. Zudem beweisen wir, dass die Teilchenwechselwirkung die örtliche Teilchendichte reduziert.

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Pechmann, Maximilian: Bose-Einstein Condensation in Random Potentials. 2019. FernUniversität in Hagen.

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