Global and Local Semicircle Laws for Random Matrices with Correlated Entries

Fleermann, Michael

In this dissertation, we analyze random matrix ensembles with correlated entries, for which we derive global and local semicircle laws. The ensembles we study in the first part of the dissertation are called ”α-almost uncorrelated”, where α > 0 represents a parameter that controls the correlation decay in the ensemble. The model appears naturally when analyzing Gaussian ensembles with a uniform decay rate of all covariances, but also Curie-Weiss ensembles fit within this framework. Under varying assumptions, we show semicircle laws in probability and almost surely for periodic and non-periodic α-almost uncorrelated random band matrices, including full matrices as a special case. In addition, we formulate a theorem that shows asymptotic equivalence of empirical spectral distributions (ESDs) of periodic and non-periodic random band matrices in very general settings. In the second part of the dissertation, we derive local semicircle laws of various types for ensembles with correlated entries, which we call ”of Curie-Weiss type.” Local semicircle laws were developed in 2009 for independent and identically distributed matrix entries to give very detailed insights into the convergence mechanisms of ESDs towards the semicircle distribution. They allow high-probability statements about convergence on very small intervals. Our contribution is to give complete and rigorous proofs of these local laws (which are so far lacking in the literature), to establish a connection between various formulations of the local laws, and to derive local laws in presence of very slow correlation decay not yet covered by the literature.

In dieser Dissertation analysieren wir Ensembles zufälliger Matrizen mit korrelierten Einträgen, für die wir globale und lokale Halbkreisgesetze herleiten. Die Ensembles, die wir im ersten Teil der Arbeit analysieren, nennen wir ”α-fast unkorreliert”, wobei α > 0 einen Parameter darstellt, der das Abklingen der Korrelation bestimmt. Das Modell manifestiert sich auf natürliche Weise, wenn man Gauß'sche Ensembles mit gleichmäßigem Abklingverhalten der Kovarianzen analysiert, jedoch werden auch Curie-Weiss Ensembles durch dieses Modell abgedeckt. Unter verschiedenen Voraussetzungen zeigen wir Halbkreisgesetze in Wahrscheinlichkeit und fast sicher für periodische und nicht-periodische α-fast unkorrelierte zufällige Bandmatrizen, wobei hier vollbesetzte Matrizen als Spezialfall enthalten sind. Zusätzlich formulieren wir ein Theorem, welches in sehr allgemeinen Situationen die asymptotische Äquivalenz der empirischen Spektralmaße von periodischen und nicht-periodischen zufälligen Bandmatrizen besagt. Im zweiten Teil der Dissertation leiten wir lokale Halbkreisgesetze in unterschiedlichen Formulierungen für Ensembles mit korrelierten Einträgen her, welche wir ”vom Curie-Weiss-Typ” nennen. Lokale Halbkreisgesetze wurden im Jahr 2009 für unabhängige und identisch verteilte Matrixeinträge entwickelt, um sehr detaillierte Erkenntnisse über die Konvergenzmechanismen empirischer Spetralverteilungen gegen das Halbkreisgesetz zu gewinnen. Lokale Gesetze erlauben Aussagen mit hoher Wahrscheinlichkeit über die Konvergenz auf sehr kleinen Intervallen. Unser Beitrag ist es, einen vollständigen und rigorosen Beweis solcher Gesetze zu geben (welcher bisher in der Literatur kaum verfügbar ist), Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Formulierungen der lokalen Gesetze herzustellen und lokale Gesetze für den Fall von langsam abklingender Korrelation nachzuweisen, welche bisher noch nicht von bestehender Literatur abgedeckt wird.

Vorschau

Zitieren

Zitierform:

Fleermann, Michael: Global and Local Semicircle Laws for Random Matrices with Correlated Entries. Hagen 2019. FernUniversität in Hagen.

Zugriffsstatistik

Gesamt:
Volltextzugriffe:
Metadatenansicht:
12 Monate:
Volltextzugriffe:
Metadatenansicht:

Grafik öffnen

Rechte

Nutzung und Vervielfältigung:
Alle Rechte vorbehalten

Export

powered by MyCoRe