Einführung in die Theorie der algebraischen Kurven und deren Eigenschaften

Böttcher, Roger GND

In der algebraischen Geometrie werden Fragestellungen bzgl. räumlicher Beziehungen durch einen Vorgang des besonderen Modellierens von Geometrie in Fragestellungen der Algebra verwandelt. Diese Arbeitsweise wird hier an dem Begriff der Kurve diskutiert, der zu den fruchtbarsten Konzeptionen der reinen und angewandten Mathematik gehört. Gegenstand dieser Einführung in die Theorie der algebraischen Kurven, die als Nullstellenmengen von Polynomen über Ringe oder Körper definiert werden, sind ebene affine und projektive Kurven. Dabei können letztere als eine Kompaktifizierung der affinen Kurven angesehen werden, die es erlauben, die Klassifikation und das Schnittverhalten - mit weitreichenden Anwendungen - sehr übersichtlich zu gestalten. Von besonderer Bedeutung ist die Betrachtung komplexer Kurven, weil erst der algebraisch abgeschlossene Körper der komplexen Zahlen weitreichende Aussagen über die Struktur der Kurven ermöglicht. Die Theorie der algebraischen Kurven wird hier bis zu ersten Ergebnissen der Schnitttheorie - mit Anwendungen auf Quadriken und Kubiken - und der Vorstellung der Plückerschen Formeln entwickelt; viel Wert wird auf Beispiele und konkrete Berechnungen gelegt, welche die Theorie vertiefen und veranschaulichen sollen. Der Schwerpunkt der Arbeit - als Teilgebiet der algebraischen Geometrie - liegt mehr auf die Herausarbeitung geometrischer Aspekte und ihrer algebraischen Formulierung, weniger auf den Ausbau des Kurvenbegriffes auf möglichst umfassende algebraische Konzeptionen.

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Böttcher, Roger: Einführung in die Theorie der algebraischen Kurven und deren Eigenschaften. Hagen 3. Auflage 2006. FernUniversität in Hagen.

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